勉強会後記(濃度の冪についての命題)
松坂先生の集合論の本を使って同じ学年の子と継続している勉強会.3週間以上議論になった問題に,何となく決着がついたので記録.ほとんど教えてgooの人の回答と同じです.教えてgooを作った人に感謝.
濃度のべきについて -濃度のべきについての証明で、わからないことがあ- 数学 | 教えて!goo
濃度の冪についての証明
濃度の積,冪などの定義を使えば,上の命題はを示すことと同義である.ここでは集合の濃度を表しているとする.
の任意の元に対してを固定すると,の元になることから,の元を用いて以下のように表すことができる.
任意のに対して,
上記においてはの元であることを強く意識すること. からの写像をとすると,が全単写であることは以下のようにして示される.
単射性
とする.とするととなるような,が存在することが言える.また直前の式は,であることを表している.はで定義された写像であり,上式よりのある要素において等号が成り立たないため,.ここで,で定義される写像は,のある要素に対して等号が成り立たないため,となり,写像において,始集合の要素が異なれば,必ず終集合の要素が異なることが示されたため,は単写である.
全射性
任意のに対して, と定めれば,となる.を必ず存在させることができるため,は全射である.
以上の議論を踏まえれば,との間に全単射が存在することになるため,この二つの集合の濃度に等号が成立し,